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“三角形的中位線”教學(xué)設(shè)計(jì)案例
摘要：本文從設(shè)計(jì)思路、教學(xué)過程、板書設(shè)計(jì)和課后反思四個(gè)方面介紹了“三角形的中位線”教學(xué)設(shè)計(jì)案例。
關(guān)鍵詞：三角形中位線；設(shè)計(jì)思路；教學(xué)過程；板書設(shè)計(jì)；課后反思
作者簡介：王雪楓，任教于甘肅省蘭州市第四中學(xué)。
授課班級(jí)：甘肅省蘭州市第四中學(xué)九年級(jí)（5）班
授課教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（北師大版）九年級(jí)上冊(cè)第三章《證明（三）》第一節(jié)平行四邊形（第三課時(shí)）。
一、設(shè)計(jì)思路
（一）教材分析
本課時(shí)所要探究的三角形中位線定理是學(xué)生以前從未接觸過的內(nèi)容。因此，在教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)有趣的情境問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)直觀與抽象的結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，大膽探索新穎獨(dú)特的證明方法和思路，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”這一過程，體會(huì)合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論的過程中發(fā)揮的作用，同時(shí)滲透歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生理解三角形中位線定理不僅指出了三角形的中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而且為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（倍分關(guān)系）提供了新的思路，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
（二）學(xué)情分析
本班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，接受新知識(shí)的意識(shí)較強(qiáng)，對(duì)于本章有關(guān)平行四邊形的性質(zhì)和判定的內(nèi)容掌握較好，但知識(shí)遷移能力較差，數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用不夠靈活。因此，本節(jié)課著眼于基礎(chǔ)，注重能力的培養(yǎng)，積極引導(dǎo)學(xué)生首先通過實(shí)際操作獲得結(jié)論，然后借助于平行四邊形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行探索和證明。在此過程中注重知識(shí)的遷移同時(shí)重點(diǎn)滲透轉(zhuǎn)化、類比、歸納的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的優(yōu)勢(shì)得以發(fā)揮，劣勢(shì)得以改進(jìn)，從而提高學(xué)生的整體水平。
三）教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)目標(biāo)
1）了解三角形中位線的概念。
2）掌握三角形中位線定理的證明和有關(guān)應(yīng)用。
2.能力目標(biāo)
1） 經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力。
2） 能夠用多種方法證明三角形的中位線定理，體會(huì)在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。
3）能夠應(yīng)用三角形的中位線定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，逐步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
3.情感目標(biāo)
通過學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、猜想、論證等自主探索與合作交流的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概念與三角形中位線定理的證明.
教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線定理的多種證明。
（五）教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)
對(duì)于三角形中位線定理的引入采用發(fā)現(xiàn)法，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過探索、猜測(cè)等自主探究的方法先獲得結(jié)論再去證明。在此過程中，注重對(duì)證明思路的啟發(fā)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對(duì)于定理的證明過程，則運(yùn)用多媒體演示。
（六）教具和學(xué)具的準(zhǔn)備
教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫圖工具。
學(xué)具：三角形紙片、剪刀、刻度尺、量角器。
二、 教學(xué)過程
1.一道趣題——課堂因你而和諧
問題：你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？這四個(gè)全等三角形能拼湊成一個(gè)平行四邊形嗎？（板書）
（這一問題激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生積極主動(dòng)地加入到課堂教學(xué)中，課堂氣氛變得較為和諧，課堂也鮮活起來了。）
學(xué)生想出了這樣的方法：順次連接三角形每兩邊的中點(diǎn)，看上去就得到了四個(gè)全等的三角形．
如圖中，將△ADE繞E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°可得平行四邊形ADFE。
問題：你有辦法驗(yàn)證嗎？
2.一種實(shí)驗(yàn)——課堂因你而生動(dòng)
學(xué)生的驗(yàn)證方法較多，其中較為典型的方法如下：
生1：沿DE、DF、EF將畫在紙上的△ABC剪開，看四個(gè)三角形能否重合。
生2：分別測(cè)量四個(gè)三角形的三邊長度，判斷是否可利用“SSS”來判定三角形全等。
生3：分別測(cè)量四個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的邊及角，判斷是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。
引導(dǎo)：上述同學(xué)都采用了實(shí)驗(yàn)法，存在誤差，那么如何利用推理論證的方法驗(yàn)證呢？
3.一種探索——課堂因你而鮮活
師：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．（板書）
問題：三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系呢？在前面圖1中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？
（學(xué)生的思維開始活躍起來，同學(xué)之間開始互相討論，積極發(fā)言）
學(xué)生的結(jié)果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，
△ ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB ……
猜想：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書）
師：如何證明這個(gè)猜想的命題呢？
生：先將文字問題轉(zhuǎn)化為幾何問題然后證明。
已知：DE是ABC的中位線，求證：DE//BC、DE=BC。
學(xué)生思考后教師啟發(fā)：要證明兩條直線平行，可以利用“三線八角”的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而要證明一條線段的長等于另一條線段長度的一半，可采用將較短的線段延長一倍，或者截取較長線段的一半等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化歸納。
（學(xué)生積極討論，得出幾種常用方法，大致思路如下）
生1：延長DE到F使EF=DE，連接CF
由 △ADE≌△CFE（SAS）
得 ADFC 從而 BDFC
所以，四邊形DBCF為平行四邊形
得 DFBC
可得 DEBC （板書）
生2：將ADE繞E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
即 ADE≌CFE，
可得 BDCF，
得 平行四邊形DBCF
得 DFBC 可得 DEBC
生3：延長DE到F使DE=EF，連接AF、CF、CD, 可得 ADCF
得 DBCF
得 DFBC
可得 DEBC
生4：利用△ADE∽△ABC且相似比為1：2
即
可得 DEBC
師：還有其它不同方法嗎？
（學(xué)生面面相覷，學(xué)生5舉手發(fā)言）
4.一種創(chuàng)新——課堂因你而美麗
生5：過點(diǎn)D作DF//BC交AC于點(diǎn)F
則 ADF∽ABC
可得
又 E是AC中點(diǎn)
可得
因此 AE=AF
即 E點(diǎn)與F點(diǎn)重合
所以 DE//BC 且 DE=BC
（筆者事先只局限于思考利用平行四邊形及三角形相似的性質(zhì)解決問題，沒想到學(xué)生的發(fā)言如此精彩，為整個(gè)課堂添加了不少亮色。）
師：很好，好極了！這種證法在數(shù)學(xué)中叫做同一法，連老師也沒想到。太棒了，大家要向生5學(xué)習(xí)，用變化的、動(dòng)態(tài)的、創(chuàng)新的觀點(diǎn)來看問題，努力去尋找更好更簡捷的方法。
5.一種思考——課堂因你而添彩
問題：三角形的中位線與中線有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？
容易得出如下事實(shí)：都是三角形內(nèi)部與邊的中點(diǎn)有關(guān)的線段．但中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．（學(xué)生交流、探索、思考、驗(yàn)證）
6.一種照應(yīng)——課堂因你而完整
問題：你能利用三角形中位線定理說明本節(jié)課開始提出的趣題的合理性嗎？（學(xué)生爭(zhēng)先恐后回答，課堂氣氛活躍）
7.一種應(yīng)用——課堂因你而升華
做一做：任意一個(gè)四邊形，將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來所得新四邊形的形狀有什么特征？
（學(xué)生積極思考發(fā)言，師生共同完成此題目的最常見解法。）
已知：四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H
分別是四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。
證明：連結(jié)AC
∵ E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴ EF是ABC的中位線，
∴ EF∥AC且EF=AC，
同理可得：GH∥AC 且GH=AC，
∴ EFGH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形。（板書）
其它解法由學(xué)生口述完成。
8.一種引申——課堂因你而讓人回味無窮
問題：如果將上例中的“任意四邊形”改為“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”，結(jié)論又會(huì)怎么樣呢？（學(xué)生作為作業(yè)完成。）
9.一句總結(jié)——課堂因你而彰顯無窮魅力
學(xué)生總結(jié)本節(jié)內(nèi)容：三角形的中位線和三角形中位線定理。（另附作業(yè)）
三、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線
1.問題
2.三角形中位線定義
3.三角形中位線定理證明
4.做一做
5.練習(xí)
6.小結(jié)
四、課后反思
本節(jié)課以“如何將一個(gè)任意三角形分為四個(gè)全等的三角形”這一問題為出發(fā)點(diǎn)，以平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理為橋梁，探究了三角形中位線的基本性質(zhì)和應(yīng)用。在本節(jié)課中，學(xué)生親身經(jīng)歷了“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的探究過程，體會(huì)了證明的必要性和證明方法的多樣性。在此過程中，筆者注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)應(yīng)用，達(dá)到了預(yù)期的目的。
本節(jié)課中學(xué)生的“同一法”給了我們很多的啟示：雖然在平時(shí)的教學(xué)中，筆者也盡力放手讓學(xué)生們探索和創(chuàng)新．但仔細(xì)想想，他們的那些“創(chuàng)新”都局限于事先設(shè)計(jì)好的范圍之內(nèi)，而本節(jié)課中學(xué)生的“同一法”卻是從變化的、動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待問題，完全超出了筆者的“預(yù)設(shè)”，課堂因此而變得更精彩。筆者深深地感到一個(gè)理想的課堂應(yīng)該是走進(jìn)孩子們的心里、聽到孩子們心聲的課堂。因?yàn)橹挥腥谌肓撕⒆觽儼l(fā)自內(nèi)心的感受和愛，課堂才會(huì)更加精彩！
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