從高考試題分析函數教學思路

從高考試題分析函數教學思路

　　一、幾個高考案例

　　案例1：(06年四川高考文)已知函數f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是的f(x)的導函數.

　　(1)對滿足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0，求實數x的取值范圍;

　　(2)設a=-m2，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f(x)的圖像與直線y=3只有一個公共點.

　　案例2：(07年四川高考文，本小題滿分12分)設函數f(x)=ax3+bx+c(a≠0)為奇函數，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數f ′(x)的最小值為-12.

　　(1)求a，b，c的值;

　　(2)求函數f(x)的單調遞增區間，并求函數f(x)在[-1，3]上的最大值和最小值.

　　案例3：(08年四川高考文，本小題滿分12分)設x=1和x=2是函數f(x)=x5+ax3+bx+1的兩個極值點.

　　(1)求a和b的值;

　　(2)求f(x)的單調區間.

　　案例4：(09年四川高考文，本小題滿分12分)已知函數f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10.

　　(1)求函數f(x)的解析式;

　　(2)設函數g(x)=f(x)+mx，若g(x)的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數取得極值時對應的自變量x的值.

　　在連續四年的高考中都考到了高三選修內容的函數求導、極值、單調性、最值、導數幾何意義(即導函數在某一點的導數值就是這一點切線的斜率).在考查這些知識的同時也考查這些知識的運用能力，既考查了教材也考查了教材知識的運用.函數求導作為數學的工具和基礎地位在這幾個案例中得到了充分的體現和重視，從復習的角度來看，我認為高三文科在函數復習時應做好以下工作.夯實求導和二次函數這兩個工具.

　　二、夯實求導這個工具

　　函數求導能解決函數的單調性、極值、切線的斜率、最值等問題.函數求導是數學和物理學的重要工具.在上述四個案例中都對函數的單調性，極值，切線的斜率和函數的最值都相當重視，因此在高三的復習中一定要準確把握和練習求導這個內容.其重點有：

　　1.對教材中要求的公式進行求導強化練習，如：(c)′=0，(xn)′=nxn-1，(cxn)′=cnxn-1，[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]=f ′(x)g(x)+g′(x)f(x).如上述四個案例首先涉及到的就是對原函數進行求導，再在求導的基礎上進行求解.

　　2.利用f ′(x)的意義進行解題練習

　　(1)f ′(x)>0所對應的區間是f(x)的遞增區間，f ′(x)<0所對應的區間是f(x)的遞減區間.充分運用這一結論進行函數單調區間的求解練習.如上述案例2，本題的第(1)問就是利用f ′(x)>0所對應的區間是f(x)的遞增區間，利用f ′(x)<0所對應的區間是f(x)的遞減區間這一結論來求解函數的單調區間的.

　　(2)f ′(x)在某一點的導數值是這一點切線的斜率，利用這個結論進行切線斜率和切線的求解練習，同時利用切線的斜率或切線的方程對切點進行求解，或對函數的解析式求解.如案例1的第(1)問就是利用切線反向求解函數解析式的運用.案例4的第(1)就是利用切線方程反向求試題中的參數，進而進一步進解函數的解析式的.利用這一結論除了要把握導函數在某一點處的導數值是這一點切線的斜率外，還要注意這切點同時在原函數和切線上，即同時滿足原函數和切線的方程.

　　(3)當f ′(x0)=0時，若f ′(x)的值在的左右取值的符號不同，則x0為f(x)的極值點，即f ′(x)在f(x)的極值點處的導數值是0，利用這一結論可以求解帶參數的函數的解析式，也可以求解函數的極值和最值.如案例1的第(2)問就是利用切線反向求解函數解析式的運用.案例3的第(1)問就是例用在極值點處導函數的值為零這一結論求參數a和b的.

　　從上面的研究中我們不難發現，文科類的數學高考緊緊把握了教材要求的知識點：求導公式的要求，導函數的意義.并對這些內容進行正向和逆向的設計和考查，當然我們在研究中還發現數在進行求導以后，在很大程度上轉化為二次函數問題.因此二次函數是高三函數復習的又一個重點和難點.

　　三、強化二次函數的應用

　　在文科數學高考大題求導后一般轉換為二次函數，由于二次函數的內容在初中作為重點內容進行了教學，在高中作為一個基本工具直接使用，這本身沒有任何問題，但在教學過程中發現學生在掌握二次函數的內容和解題方面都存在較大的困難.在高考的函數大題中通常是以二次函數作為出題的背景來設計的，一般設計為三次含參求導，在求出解析式后，再圍繞極值，最值和單調性設置試題.因此二次函數的內容是函數考察大題的基礎和工具，在復習過程中應該引起足夠的重視.在教學過程中應就以下幾方面強化練習和應用.

　　1.一元二次不等式的解法

　　形如ax2+bx+c類型的不等式的解法應用.在化a為正的情況下，應用大于(或大于等于)取兩邊，小于(或小于等于)取中間的原理進行求解.特別注意?駐<0(判別式小于零)這種特屬情況的求解.一元二次不等式的解法是求導后求函數單調性的基礎.如案例2的第(2)問，案例3的第(2)問.

　　2.一元二次函數在閉區間上最值的分布

　　一元二次函數在閉區間上最值的分布是求解是否存在極值點，有幾個極值點的基礎，也是求解極值或最值的基礎.如案例1的第(2)問，案例2的第(2)問和案例4的第(2)問.

　　3.應強化二次函數以下知識點的練習和應用：

　　(1)頂點坐標-;

　　(2)對稱軸x=-;

　　(3)單調性：a>0時，對稱軸的左邊單遞減，對稱軸的右邊單調遞增;a<0時，對稱軸的左邊單遞增，對稱軸的右邊單調遞減;

　　(4)最值：a>0時，離對稱軸越遠函數值越大，離對稱軸越近函數值越小，在對稱軸處函數值最小;a<0時，離對稱軸越遠函數值越小，離對稱軸越近函數值越大，在對稱軸處函數值最大.

　　4.注意數形結合，在解題時借助直觀的圖形將問題具體化和直觀化，協助學生理解和運用.同時培養學生數形結合的思想和解題方法.

　　函數是高考中分值最大的一部分內容，內容多，考題可深可淺，文科高三函數復習大題部分，只要把握了上述內容，學生就會在高考中贏得先機，考出其理想成績，教師的教學和學生的學習就可以順利的進行，從而使教學達到最佳的效果.

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