一元二次方程的解法教學設計

<一>設置懸念，引發興趣：

1、我們已經學會了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪幾種情況？能不能不解方程便判斷出它們根的情況？

2、由學生舉出幾個一元二次方程的例子，教師直接判斷出它們根的情況

這樣設計，能激發學生的學習興趣和求知欲，為后面發現結論創造最佳的心理狀態。

<二>設置練習，創設情境。

用公式法解下列一元二次方程

使學生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識

<三>啟發引導，發現結論：

觀察解題過程，可以發現：在把系數代入求根公式之前，都是先確定了a、b、c的值，然后求出的值，為什么要這樣做呢？學生能說出 的作用是：它能決定方程是否可解。

由此可見：在解一元二次方程時，代數式起著重要的作用，顯然我們可以根據的值的符號來判斷一元二次方程  的根的情況，因此我們把  叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△”來表示，即△=。在今后的'數學學習中還會遇到用一個簡單的符號來表示一個數學式子的情況，同學們要適應這一點，它體現了數學的簡潔美。

讓學生明白： 的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。

培養學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發現結論的成功樂趣。

<四>引導學生，理論驗證：

 利用配方法，可以把一元二次方程變形為：

     ∵   ∴ ，

故的值是正數、零還是負數直接對方程的根產生影響

（1）時，可得：

   ，而且

（2）時，，

顯然

（3）時，，

     ∵ 負數沒有平方根    ∴  方程沒有實數根

培養學生思維的嚴謹性，養成嚴格論證問題的習慣。

<五>揭示定理：

（1）由此我們就得出了關于一元二次方程 的根的判別式定理：

在一元二次方程中，

     若△＞0  則方程有兩個不相等的實數根

     若△ = 0 則方程有兩個相等的實數根

     若△＜0  則方程沒有實數根

     (若△≥0  則方程有實數根)

 （2）這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

     若方程有兩個不相等的實數根，則△＞0

     若方程有兩個相等的實數根，  則△= 0

     若方程沒有實數根，         則△＜0

(若方程有實數根,  則△≥0)

培養學生學會如何用數學語言來闡述發現的結論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對定理的認識，為正確運用做好鋪墊。

  <六>應用定理，解決問題：

 練習一：不解方程，判別下列方程根的情況

 分析：判別方程根的情況，根據定理可知，就是要確定△值的符號

練習二： 不解方程，判別下列方程根的情況

（4）題補充了一個含有字母系數的方程，補充此題的目的是：發展學生的符號意識，為今后解綜合性問題打好基礎。

以上練習的設計，主要是為了給學生創造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養學生分析問題，解決問題的能力。

思考：已知關于的方程，當取什么值時，方程

（1）     有兩個不相等的實數根

（2）     有兩個相等的實數根

（3）     沒有實數根

分析：要解決這個問題，應先根據方程根的情況，得出△的取值，從而求出的取值范圍。

本題是一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己完成。

<七>歸納小結

一元二次方程中，

方程有兩個不相等的實數根

方程有兩個相等的實數根

方程沒有實數根

使學生系統地了解和掌握本節課的內容

< 八>作業布置：

  （必做題）不解方程判定下列方程根的情況：

（選做題）已知：方程有兩個實數根，

求：的取值范圍

使學生能及時鞏固本節課所學知識，同時對學有余力的學生留出自由的發展空間。

科  　目

數學

年    級

九年級

教學時間

一課時

學習者分析

學生的學習 思維、解決問題等能力的高低叁差不齊。從學生現有的情況來看，多數同學對列方程解應用題感覺較難掌握，面對題意無法找出等量關系。另外，很多學生的計算能力也不強。因此，在教學中主要以較為簡單的基礎題為授課主線，其中參入少數中檔題供一些學有余力的學生思考。

教學目標

一、情感態度與價值觀

1.培養學生主動探索、敢于實勇于發現、合作交流的精神。

二、過程與方法

1. 經歷抽象一元二次方程的過程, 使學生體會出方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型

2. 經歷探索滿足方程解的過程，發展估算的意識和能力。

三、知識與技能

1.充分了解一元二次方程的概念

2.正確掌握一元二次方程的一般形式。

教學重點、難點

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.由實際問題向數學問題的轉化過程。

3.正確識別一般式中的“項”及“系數”。

教學資源

多媒體課件

教學過程

教學活動1

一 . 創設情境，導入新課

問題1：

2008年奧運會將在北京舉辦，許多大學生都希望為奧運奉獻自己的'一份力量。現組委會決定對高校奧運志愿者進行分批培訓，由已合格人員培訓第一輪人員，再由前面所有合格人員培訓第二輪人員,以此類推來完成此次培訓任務。某高校學生李紅已受訓合格，成為一名志愿者，并由她負責培訓本校志愿者。若每輪培訓中每個志愿者平均培訓x人。

(1)已知經過第一輪培訓后該校共有11人合格, 請列出滿足條件的方程:

(2)若兩輪培訓后該校共有121人合格，你能列出滿足條件的方程嗎？

問題2:

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒底面積為3600cm²,那么鐵皮各角應切去多大的正方形?

問題3:

我校為豐富校園文化氛圍，要設計一座2米高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與全部高度的乘積，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

教學活動2

二 . 探究新知，嘗試練習

由以上問題得到2個方程,學生觀察歸納這2個方程的特征,給出名稱并類比一元一次方程的定義,得出一元二次方程的定義.

歸納：

1、一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。

強調定義中體現的3個特征:

①整式;    ②一元;     ③2次

練習1：判斷下列各式是否為一元二次方程：

(1)4x²=81  (2)2(x^2_1)=3y   (3)5x^2_1=4x (4)x²+3x^_c=0       (5)3x(x+1)=5(x+2)

引導學生類比一元一次方程的一般形式，總結歸納一元二次方程的一般形式及項、系數的概念

2、一元二次方程的一般形式為：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²為二次項，a為二次項系數；bx為一次項，b為一次項系數；c為常數項。

提問：說出下列方程的一次項系數、二次項系數和常數項

x²+2x-1=0         x²-36x+35=0

練習2：說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：（由學生以搶答的形式來完成此題,并讓學生找出錯誤理由.）

（1）x²十3x十2＝O （2）x^2_3x十4＝0；

（3）3x²-5＝0       （4）4x²十3x^_2＝0；

（5）3x^2_5=0；      （6）6x^2_x=0。

整理一般形式后,教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法,如去括號,移項,合并同類項,去分母。

教學活動3

三、合作學習，鞏固提高

1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項

（1）2（x²－1）= 3 x

（2）3（x－3）²=（x＋2）²＋7              

（3）3x(x-1)＝2(x十2)

    2、我校為樹立學生的團結、拼搏精神，組織了一次籃球比賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，依據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？(列方程并整理成一般形式）

教學活動4

四、歸納小結，布置作業　

本節課你學會哪些新知識？

學生交流、討論，談談自己的收獲或感悟。